几个重要的不等式

一、$Cauchy$不等式及$Schwarz$不等式

a.$Cauchy$不等式

定理1:

设$a_{i},b_{i}$为任意实数$(i=1,2,…,n)$则\((\Sigma_{i=1}^na_ib_i)^2\le\Sigma_{i=1}^na_i^2\Sigma_{i=1}^nb_i^2\) 其中等号当且仅当$a_i$与$b_i$成比例时成立。则上式称为$Cauchy$不等式。

b.$Schwarz$不等式

定理2:若$f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积，则$$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\le\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$$

若$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，其中等号当且仅当存在常数$\alpha,\beta$，使得$\alpha f(x)\equiv\beta g(x)$时成立($\alpha,\beta$不同时为零)

证明$I$：

将$[a,b]n$等分，令$x_i=a+\frac{i}{n}(b-a),$应用$Cauchy$不等式,\((\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nf(x_i)g(x_i))^2\le\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nf(x_i)\cdot\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^ng(x_i)\)令$n\rightarrow\infty$取极限，即得到上述不等式

证明$II$:

$\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx-(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2$ $=\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(y)dy+\frac{1}{2}\int_a^bf^2(y)dy\int_a^bg^2(x)dx-\int_a^bf(x)g(x)dx*\int_a^bf(y)g(y)dy$ $=\frac{1}{2}\int_a^bdy\int_a^b[f^2(x)g^2(y)+f^2(y)g^2(x)-2f(x)g(x)f(y)g(y)]dx$ $=\frac{1}{2}\int_a^bdy\int_a^b[f(x)g(y)-g(x)f(y)]^2dx\ge0$

c.$Schwarz$不等式的应用

例：

设函数$g(x)$在$[0,a]$上连续可微，$g(0)=0$,试证：$\int_0^a|g(x)g’(x)|dx\le\frac{a}{2}\int_0^a|g’(x)|^2dx$ 证明思路： 记$f(x)=\int_0^x|g’(t)|dt,$则$f’(x)=|g’(x)|$,由$|g(x)-g(0)|=|\int_0^xg’(t)dt|\le\int_0^x|g’(t)|dt=f(x)$ $\int_0^a|g(x)g’(x)|dx\le\int_0^af(x)f’(x)dx=\frac{1}{2}f^2(x)|_0^a=\frac{1}{2}(\int_0^a1\cdot|g’(t)dt|)^2\le\frac{a}{2}\int_0^ag’(t)dt$ 故不等式成立

二、平均值不等式

a.基本形式

对任意$n$个实数$a_i\ge0(i=1,2,…,n)$恒有$\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}\le\frac{a_1+a_2+…a_n}{n}$(即几何平均值$\le$算数平均值)，其中等号成立当且仅当$a_1=a_2=…=a_n$

例：

设正值函数$f(x)$在$[0,1]$连续，试证明：\(e^{\int_0^1\ln f(x)dx}\le\int_0^1f(x)dx\)

证：

\(\int_0^1f(x)dx=\lim_{||T||\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\frac{1}{n}\le\lim_{||T||\to0}(\prod_{i=1}^nf(\xi_i))^{\frac{1}{n}}\ \quad \ =e^{\ln(\lim_{||T||\to0}\prod_{i=1}^nf(\xi_i))^\frac{1}{n}}=e^{\frac{\lim_{||T||\to0}\sum_{i=1}^n\ln f(\xi_i)}{n}}=e^{\int_0^1\ln f(x)dx}\)

b.平均值不等式的推广形式

设$a_1,a_2,…,a_n$不全相等，则有$a_1^{q_1}a_2^{q_2}…a_n^{q_n}<q_1a_1+q_2a_2+…+q_na_n$（其中$q_i>0,\sum q_i=1$） 证明有点费劲 还是算了吧233333

三、$H\ddot{o}lder$不等式

设$a_i,b_i\ge0,(i=1,2,…n).k,k’$为实数:$\frac{1}{k}+\frac{1}{k’}=1,$则 当$k>1$(从而$k’>1$时) \(\sum_{i=1}^na_ib_i\le(\sum_{i=1}^na_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum_{i=1}^nb_i^{k'})^{\frac{1}{k'}}\) 当$k<1$(从而$k’<1$时) \(\sum_{i=1}^na_ib_i\ge(\sum_{i=1}^na_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum_{i=1}^nb_i^{k'})^{\frac{1}{k'}}\) 其中等号成立当且仅当$a_i$与$b_i$成比例$\exists\alpha,\beta$不全为零使得$\alpha a_i^k=\beta b_i^{k’}(i=1,2,…,n)$时成立

注：当$k=k'=2$时，为柯西不等式。

证明：

1）当$k>1$时， \(\frac{\sum a_ib_i}{(\sum a_i^k)^{\frac{1}{k}}\cdot(\sum b_i^{k'})^{\frac{1}{k'}}}=\sum_i (\frac{a_i^k}{\sum a_i^k})^{\frac{1}{k}}(\frac{b_i^{k'}}{\sum b_i^{k'}})^{\frac{1}{k'}} \ \le\sum_i[\frac{1}{k}(\frac{a_i^k}{\sum a_i^k})+\frac{1}{k'}(\frac{b_i^{k'}}{\sum b_i^{k'}})] \ =\frac{1}{k}\sum\frac{a_i^k}{\sum a_i^k}+\frac{1}{k'}\sum\frac{b_i^{k'}}{\sum b_i^{k'}}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k'}=1\) 2）当$k<1$时，注意到$k’(1-k)+k=0$，故 \(\sum a_i^k=\sum a_i^kb_i^{k+k'(1-k)}=\sum(a_ib_i)^k(b_i^{k'})^{1-k}\) 由上式 1)将$(a_ib_i)^k,(b_i^{k’})^{1-k},\frac{1}{k},\frac{1}{1-k}$分别看作(1)式中的$a_i,b_i,k,$与$k’$则得到\(\sum a_i^k\le(\sum a_ib_i)^k(\sum b_i^{k'})^{1-k}\)， 故$(\sum a_i^k)^{\frac{1}{k}}\le\sum a_ib_i\cdot(\sum b_i^{k’})^{\frac{1-k}{k}}=\sum a_ib_i\cdot(\sum b_i^{k’})^{-\frac{1}{k’}}$且不等式中的等号当且仅当$a_i^k$与$b_i^{k’}$成比例时才成立